O que é integral por partes?

Integração por Partes: Uma Explicação Detalhada

A integração por partes é uma técnica fundamental no cálculo integral que deriva diretamente da regra do produto para a diferenciação. Ela é especialmente útil para integrar funções que são produtos de outras funções, particularmente quando métodos de substituição simples não funcionam.

A Fórmula Fundamental:

A integração por partes se baseia na seguinte fórmula:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Onde:

• u é uma função que escolhemos diferenciar.
• dv é uma função que escolhemos integrar.
• du é a derivada de u.
• v é a integral de dv.

Como Aplicar a Integração por Partes:

1. Escolha de u e dv: Este é o passo crucial. A escolha correta de u e dv simplificará a integral resultante. Uma heurística comum para ajudar nessa escolha é o mnemônico LIATE (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial). A função que aparece primeiro em LIATE geralmente é uma boa escolha para u. Isso não é uma regra absoluta, mas um guia. Para mais informações sobre a escolha de u e dv, veja Seleção%20de%20u%20e%20dv.

2. Calcule du e v: Depois de escolher u e dv, determine du (a derivada de u) e v (a integral de dv).

3. Aplique a Fórmula: Substitua u, dv, du e v na fórmula de integração por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du.

4. Avalie a Nova Integral: A integral ∫ v du deve ser mais simples de avaliar do que a integral original ∫ u dv. Se não for, pode ser necessário reconsiderar sua escolha de u e dv ou aplicar integração por partes novamente. Em alguns casos, a aplicação repetida da integração por partes é necessária, como exemplificado em Integração%20por%20Partes%20Iterativa.

Exemplo:

Vamos integrar ∫ x cos(x) dx.

1. Escolha: Seguindo LIATE, escolhemos u = x (algébrica) e dv = cos(x) dx (trigonométrica).

2. Calcule: du = dx e v = ∫ cos(x) dx = sen(x).

3. Aplique a Fórmula:

   ∫ x cos(x) dx = x sen(x) - ∫ sen(x) dx

4. Avalie: ∫ sen(x) dx = -cos(x).

Portanto, ∫ x cos(x) dx = x sen(x) + cos(x) + C (onde C é a constante de integração).

Casos Especiais e Considerações:

• Integrais Cíclicas: Algumas integrais, como ∫ e^x sen(x) dx, exigem integração por partes duas vezes, e a integral original reaparece no lado direito da equação. Nesse caso, você resolve algebricamente para a integral original.

• Funções com uma Derivada Simples: Funções como ln(x) ou arctan(x) podem ser integradas por partes escolhendo u como a própria função e dv = dx.

• Integrais Definidas: Para integrais definidas, aplique a fórmula de integração por partes e avalie uv nos limites de integração. A fórmula torna-se: ∫_a^b u dv = [uv]_a^b - ∫_a^b v du. Mais detalhes podem ser encontrados em Integrais%20Definidas%20e%20Integração%20por%20Partes.

Aplicações:

A integração por partes é amplamente utilizada em diversas áreas, incluindo:

• Física: Cálculo de trabalho realizado por forças variáveis, momentos de inércia, etc.

• Engenharia: Análise de circuitos, resolução de equações diferenciais, etc.

• Estatística: Cálculo de esperanças matemáticas e variâncias.

Em resumo, a integração por partes é uma ferramenta poderosa e versátil para lidar com uma ampla gama de integrais. O domínio da técnica requer prática e uma compreensão profunda da escolha adequada de u e dv.